3變形液滴曳力系數模型

假設液(ye)(ye)(ye)滴(di)體積不(bu)變，只在(zai)外力作(zuo)用下液(ye)(ye)(ye)滴(di)表面(mian)積發(fa)生變化，且液(ye)(ye)(ye)滴(di)不(bu)與其他液(ye)(ye)(ye)滴(di)合并，液(ye)(ye)(ye)滴(di)本(ben)身也不(bu)發(fa)生分裂。則液(ye)(ye)(ye)滴(di)會(hui)在(zai)壓差(cha)作(zuo)用下由球形變成橢球形。

如圖4所示，ds為(wei)(wei)球形液(ye)(ye)滴(di)的直(zhi)徑(jing)(jing)，m；d為(wei)(wei)液(ye)(ye)滴(di)變形后迎(ying)(ying)風面(mian)直(zhi)徑(jing)(jing)，m；h為(wei)(wei)橢(tuo)球體短軸高度，m。液(ye)(ye)滴(di)等效(xiao)直(zhi)徑(jing)(jing)比φ為(wei)(wei)球形液(ye)(ye)滴(di)直(zhi)徑(jing)(jing)與變形后迎(ying)(ying)風面(mian)直(zhi)徑(jing)(jing)比，即φ=ds/d。當液(ye)(ye)滴(di)為(wei)(wei)橢(tuo)球形時(shi)，其表面(mian)積近似為(wei)(wei)

液(ye)(ye)滴(di)(di)變形(xing)前后(hou)體積不變，即ds3=d2h，則液(ye)(ye)滴(di)(di)變形(xing)程度(du)系(xi)數(shu)為

圖4液滴變形

式中(zhong)，φ為(wei)液(ye)滴(di)變(bian)(bian)形(xing)(xing)(xing)程度系(xi)數，為(wei)與變(bian)(bian)形(xing)(xing)(xing)液(ye)滴(di)體積相(xiang)等(deng)(deng)的等(deng)(deng)效球(qiu)形(xing)(xing)(xing)表(biao)面積與實際液(ye)滴(di)表(biao)面積的比值。當(dang)(dang)氣(qi)液(ye)相(xiang)對速度不(bu)大時，液(ye)滴(di)保(bao)持球(qiu)形(xing)(xing)(xing)，可以利用(yong)(yong)球(qiu)形(xing)(xing)(xing)液(ye)滴(di)曳(ye)力系(xi)數計算(suan)攜(xie)液(ye)臨界(jie)流量，但是當(dang)(dang)液(ye)滴(di)發生變(bian)(bian)形(xing)(xing)(xing)以后，曳(ye)力系(xi)數和液(ye)滴(di)迎(ying)風面積相(xiang)應(ying)的發生改(gai)變(bian)(bian)，用(yong)(yong)球(qiu)形(xing)(xing)(xing)液(ye)滴(di)曳(ye)力系(xi)數計算(suan)誤(wu)差可能(neng)高達(da)30%，對于非球(qiu)形(xing)(xing)(xing)剛(gang)性顆(ke)粒(li)，可以應(ying)用(yong)(yong)如下曳(ye)力系(xi)數表(biao)達(da)式進(jin)行計算(suan)：

式中，μg為氣(qi)體(ti)動力黏度，Pa·s。從式（8）可(ke)知，曳力系(xi)數與液(ye)(ye)(ye)滴(di)大小有關。液(ye)(ye)(ye)滴(di)為了保持液(ye)(ye)(ye)滴(di)形狀(zhuang)不產(chan)生分裂，最大液(ye)(ye)(ye)滴(di)韋(wei)伯數的范圍為20～30，可(ke)以表述為

式中，Nw為(wei)球形液(ye)(ye)滴韋(wei)伯數；dmax為(wei)球形液(ye)(ye)滴最大直徑，m。

根據Turner模(mo)型可(ke)以(yi)得到(dao)球形液(ye)滴最大直徑(jing)為

4、考慮液滴尺寸和變形影響的攜液臨界模型

氣體(ti)(ti)攜液(ye)滿足的(de)基礎力(li)(li)學條件(jian)為(wei)向上曳力(li)(li)等于液(ye)滴(di)重(zhong)力(li)(li)，即(ji)假設液(ye)滴(di)在氣流中受到前后(hou)壓差作用，發生(sheng)變(bian)形，變(bian)形前后(hou)體(ti)(ti)積(ji)(ji)不(bu)變(bian)，則(ze)液(ye)滴(di)體(ti)(ti)積(ji)(ji)和投影面積(ji)(ji)為(wei)

式中，Vd為(wei)液滴為(wei)球形時的體積(ji)，m3。

考慮到攜帶液滴直(zhi)徑d=dmax時(shi)，聯立式（14）、（16）、（17）、（18）得到攜液臨界(jie)流速(su)為(wei)

式(shi)中，vcr為攜液(ye)(ye)臨界(jie)流(liu)速，m/s。模(mo)型(xing)中液(ye)(ye)滴等效直徑比(bi)反映了液(ye)(ye)滴的(de)變形(xing)程(cheng)度，而變形(xing)程(cheng)度又與液(ye)(ye)滴尺(chi)寸(cun)有關(guan)，Shi Juntai于(yu)2014年給出了液(ye)(ye)滴厚(hou)度（圖(tu)4中h）與長度（圖(tu)4中d）之(zhi)間的(de)關(guan)系(xi)

式中(zhong)，α為液滴厚(hou)度(du)與長度(du)之比。

根據式（6）和式（20），可以得到(dao)最大液滴等效直徑比為

聯立界(jie)(jie)面張力(li)(li)公(gong)(gong)(gong)式(shi)(shi)（式(shi)(shi)4）、變(bian)形系(xi)(xi)數(shu)(shu)公(gong)(gong)(gong)式(shi)(shi)（式(shi)(shi)7）、曳(ye)力(li)(li)系(xi)(xi)數(shu)(shu)公(gong)(gong)(gong)式(shi)(shi)（式(shi)(shi)8）、韋伯數(shu)(shu)公(gong)(gong)(gong)式(shi)(shi)（式(shi)(shi)14），攜液(ye)臨界(jie)(jie)流(liu)(liu)速公(gong)(gong)(gong)式(shi)(shi)（式(shi)(shi)19）、等效直徑比公(gong)(gong)(gong)式(shi)(shi)（式(shi)(shi)21），若(ruo)液(ye)滴(di)尺寸未知，還需結合(he)最(zui)(zui)大(da)液(ye)滴(di)公(gong)(gong)(gong)式(shi)(shi)（式(shi)(shi)15），假(jia)設攜液(ye)臨界(jie)(jie)流(liu)(liu)量(liang)和曳(ye)力(li)(li)系(xi)(xi)數(shu)(shu)初(chu)始值分別為Turner模型和0.44，通過方(fang)程(cheng)組隱式(shi)(shi)迭代求解(jie)得(de)到(dao)曳(ye)力(li)(li)系(xi)(xi)數(shu)(shu)和攜液(ye)臨界(jie)(jie)流(liu)(liu)量(liang)。最(zui)(zui)后得(de)到(dao)氣井攜液(ye)臨界(jie)(jie)流(liu)(liu)量(liang)為

式中，qcr為(wei)(wei)攜液臨(lin)界流量(liang)，m3/d；Aw為(wei)(wei)井筒(tong)橫(heng)截面面積(ji)，m2；p為(wei)(wei)井筒(tong)壓(ya)力，MPa；Z為(wei)(wei)偏差(cha)因子；T為(wei)(wei)溫度，K。

5、參數敏感性分析

（1）界(jie)(jie)面(mian)張(zhang)力(li)對攜(xie)液臨(lin)界(jie)(jie)流量影響。如圖5所示(shi)為氣體相對密度為0.7，溫度為100℃時(shi)，利用新模型計(ji)算(suan)(suan)當界(jie)(jie)面(mian)張(zhang)力(li)為常數（60 mN/m）和界(jie)(jie)面(mian)張(zhang)力(li)隨(sui)壓力(li)變化時(shi)不同壓力(li)下的(de)攜(xie)液臨(lin)界(jie)(jie)流速。考慮界(jie)(jie)面(mian)張(zhang)力(li)變化的(de)攜(xie)液臨(lin)界(jie)(jie)流速要比界(jie)(jie)面(mian)張(zhang)力(li)為常數時(shi)的(de)小，計(ji)算(suan)(suan)精度更高。且(qie)隨(sui)著(zhu)壓力(li)的(de)增大，攜(xie)液臨(lin)界(jie)(jie)流速的(de)計(ji)算(suan)(suan)精度提高百分(fen)比，逐漸從4%上升至12.5%，平均提高了8%。

圖5考慮(lv)界面張力影(ying)響的(de)攜液臨界流速曲(qu)線(xian)

（2）液(ye)(ye)滴(di)(di)(di)尺寸(cun)和液(ye)(ye)滴(di)(di)(di)變形(xing)。如圖6所示為壓(ya)力(li)15 MPa，溫度(du)50℃時不(bu)同液(ye)(ye)滴(di)(di)(di)尺寸(cun)下(xia)液(ye)(ye)滴(di)(di)(di)變形(xing)程(cheng)度(du)、曳(ye)力(li)系(xi)(xi)數(shu)的(de)變化趨勢。從中(zhong)可知，當液(ye)(ye)滴(di)(di)(di)特別小時（1 mm），等效直徑比(bi)及變形(xing)程(cheng)度(du)系(xi)(xi)數(shu)接(jie)近1，曳(ye)力(li)系(xi)(xi)數(shu)近似0.44，液(ye)(ye)滴(di)(di)(di)呈(cheng)球形(xing)基本不(bu)發(fa)生變形(xing)；隨著液(ye)(ye)滴(di)(di)(di)尺寸(cun)從1 mm增大(da)到(dao)(dao)10 mm時，等效直徑比(bi)從1減小到(dao)(dao)0.75，變形(xing)程(cheng)度(du)系(xi)(xi)數(shu)從1減小到(dao)(dao)0.45，曳(ye)力(li)系(xi)(xi)數(shu)從0.44增大(da)到(dao)(dao)4.3，液(ye)(ye)滴(di)(di)(di)呈(cheng)橢球形(xing)變形(xing)程(cheng)度(du)逐漸加大(da)。

圖(tu)6液(ye)滴變形程度及曳力(li)系數(shu)曲線

如(ru)圖7所示為(wei)(wei)不(bu)同液(ye)(ye)滴(di)(di)直徑下(xia)攜液(ye)(ye)臨(lin)界(jie)流速(su)。從(cong)中可(ke)知，當液(ye)(ye)滴(di)(di)特別小時（約為(wei)(wei)1 mm），液(ye)(ye)滴(di)(di)形變不(bu)明顯(xian)，所得到(dao)的模(mo)型(xing)與(yu)Turner模(mo)型(xing)相同；隨著液(ye)(ye)滴(di)(di)變大，液(ye)(ye)滴(di)(di)變形嚴重(zhong)，曳力系數增大，攜液(ye)(ye)臨(lin)界(jie)流速(su)變小。在一(yi)定液(ye)(ye)滴(di)(di)大小及形狀下(xia)，模(mo)型(xing)簡化為(wei)(wei)常用的攜液(ye)(ye)臨(lin)界(jie)流量模(mo)型(xing)，例如(ru)李(li)閩模(mo)型(xing)對應的液(ye)(ye)滴(di)(di)尺寸(cun)為(wei)(wei)8 mm，等效直徑比(bi)為(wei)(wei)0.8，液(ye)(ye)滴(di)(di)變形程度系數為(wei)(wei)0.65。

圖7考慮液(ye)滴變形的攜液(ye)臨界(jie)流速

6、模型驗證

利用(yong)文獻中(zhong)介紹的(de)氣(qi)井(jing)積液(ye)(ye)(ye)實(shi)(shi)(shi)(shi)驗(yan)(yan)數(shu)(shu)據(ju)驗(yan)(yan)證(zheng)新(xin)模(mo)型的(de)準確性，該實(shi)(shi)(shi)(shi)驗(yan)(yan)通過數(shu)(shu)碼(ma)攝像機捕(bu)捉微觀液(ye)(ye)(ye)滴(di)實(shi)(shi)(shi)(shi)際形狀，采(cai)(cai)用(yong)數(shu)(shu)字流量(liang)(liang)(liang)計(ji)對注(zhu)入高壓氣(qi)體計(ji)量(liang)(liang)(liang)。液(ye)(ye)(ye)滴(di)實(shi)(shi)(shi)(shi)驗(yan)(yan)先采(cai)(cai)用(yong)小(xiao)氣(qi)量(liang)(liang)(liang)實(shi)(shi)(shi)(shi)驗(yan)(yan)，然后(hou)加(jia)大(da)注(zhu)氣(qi)量(liang)(liang)(liang)，待注(zhu)入液(ye)(ye)(ye)體使井(jing)底積液(ye)(ye)(ye)實(shi)(shi)(shi)(shi)現(xian)(xian)穩(wen)定不再增長，這時(shi)(shi)的(de)注(zhu)氣(qi)量(liang)(liang)(liang)即為(wei)(wei)臨(lin)界(jie)產量(liang)(liang)(liang)，同(tong)時(shi)(shi)觀察并記錄壓力傳感(gan)器(qi)的(de)數(shu)(shu)據(ju)，該數(shu)(shu)據(ju)即為(wei)(wei)對應井(jing)口壓力值。觀察數(shu)(shu)字溫度(du)計(ji)數(shu)(shu)據(ju)，得到該組實(shi)(shi)(shi)(shi)驗(yan)(yan)對應的(de)井(jing)口溫度(du)。實(shi)(shi)(shi)(shi)驗(yan)(yan)發現(xian)(xian)在低壓條(tiao)件下，液(ye)(ye)(ye)滴(di)最小(xiao)為(wei)(wei)1 mm，液(ye)(ye)(ye)滴(di)合并最大(da)為(wei)(wei)4～5 mm，運動液(ye)(ye)(ye)滴(di)近似為(wei)(wei)橢(tuo)球體的(de)形狀，高寬(kuan)比(bi)約為(wei)(wei)0.9。且實(shi)(shi)(shi)(shi)際氣(qi)流中(zhong)液(ye)(ye)(ye)滴(di)會由于力矩的(de)不平衡(heng)出現(xian)(xian)翻滾從而(er)減小(xiao)有效迎流面積。采(cai)(cai)用(yong)相(xiang)同(tong)的(de)條(tiao)件，計(ji)算(suan)氣(qi)井(jing)攜液(ye)(ye)(ye)臨(lin)界(jie)流量(liang)(liang)(liang)與(yu)實(shi)(shi)(shi)(shi)驗(yan)(yan)數(shu)(shu)據(ju)對比(bi)，如(ru)圖8所示。從圖中(zhong)可(ke)知(zhi)，在相(xiang)同(tong)條(tiao)件下計(ji)算(suan)攜液(ye)(ye)(ye)臨(lin)界(jie)流量(liang)(liang)(liang)，Turner公式(shi)系(xi)(xi)數(shu)(shu)為(wei)(wei)6.6，李(li)閩(min)公式(shi)系(xi)(xi)數(shu)(shu)為(wei)(wei)2.5。與(yu)實(shi)(shi)(shi)(shi)驗(yan)(yan)數(shu)(shu)據(ju)相(xiang)比(bi)，Turner公式(shi)計(ji)算(suan)的(de)結果偏(pian)(pian)大(da)，而(er)李(li)閩(min)公式(shi)計(ji)算(suan)結果偏(pian)(pian)小(xiao)。考(kao)慮液(ye)(ye)(ye)滴(di)尺寸為(wei)(wei)4.5 mm、變形后(hou)高寬(kuan)比(bi)為(wei)(wei)0.9時(shi)(shi)，新(xin)模(mo)型公式(shi)系(xi)(xi)數(shu)(shu)為(wei)(wei)4.75，與(yu)實(shi)(shi)(shi)(shi)驗(yan)(yan)數(shu)(shu)據(ju)吻(wen)合最好。

圖8模型預測與實驗(yan)數(shu)據(ju)對(dui)比

7、結論

（1）建立(li)了考慮界面張力(li)、液(ye)滴(di)尺寸和(he)液(ye)滴(di)變形(xing)(xing)影響(xiang)的攜(xie)液(ye)臨界模(mo)型(xing)。模(mo)型(xing)首先通過分段擬合界面張力(li)實驗數據，建立(li)界面張力(li)公(gong)式，然后引入變形(xing)(xing)液(ye)滴(di)曳力(li)系數公(gong)式及液(ye)滴(di)變形(xing)(xing)程度和(he)液(ye)滴(di)尺寸之間的關系式，得到更加(jia)符合實際的攜(xie)液(ye)臨界流量模(mo)型(xing)。

（2）界(jie)(jie)(jie)面張(zhang)(zhang)(zhang)力隨壓(ya)力和溫度變(bian)化，壓(ya)力越(yue)(yue)大、溫度越(yue)(yue)高，氣(qi)水界(jie)(jie)(jie)面張(zhang)(zhang)(zhang)力越(yue)(yue)小；氣(qi)體(ti)相(xiang)對密度越(yue)(yue)大，氣(qi)水界(jie)(jie)(jie)面張(zhang)(zhang)(zhang)力越(yue)(yue)小。當壓(ya)力和溫度分別為0～40 MPa和20～200℃時，界(jie)(jie)(jie)面張(zhang)(zhang)(zhang)力范圍為30～75 mN/m，考慮(lv)界(jie)(jie)(jie)面張(zhang)(zhang)(zhang)力影響的(de)攜液臨界(jie)(jie)(jie)流(liu)量比(bi)界(jie)(jie)(jie)面張(zhang)(zhang)(zhang)力為常數時的(de)計算精度要高。

（3）液(ye)滴(di)(di)尺寸和變(bian)形對攜液(ye)臨界流量影響較大。當液(ye)滴(di)(di)特(te)別小時，液(ye)滴(di)(di)在壓差(cha)下(xia)基(ji)本不發生形變(bian)，液(ye)滴(di)(di)基(ji)本呈球形，曳力(li)系數(shu)近似0.44；隨(sui)著(zhu)液(ye)滴(di)(di)直徑越大，液(ye)滴(di)(di)越容易(yi)變(bian)形，液(ye)滴(di)(di)高(gao)寬比越小，曳力(li)系數(shu)越大，攜液(ye)臨界流速變(bian)小。考慮(lv)了液(ye)滴(di)(di)尺寸和液(ye)滴(di)(di)變(bian)形影響的新(xin)模(mo)型與實(shi)驗數(shu)據吻合良好。