從高處往(wang)下倒水，為什么剛開(kai)(kai)始水是(shi)連成一(yi)(yi)條線(xian)的，往(wang)下就成了散開(kai)(kai)的水珠？有什么方法能讓水一(yi)(yi)直保持(chi)一(yi)(yi)條線(xian)？

先說結論，這是因(yin)為所謂的“Plateau–Rayleigh”不穩定性。

然后(hou)，我(wo)再試圖用大家都能聽懂(dong)的(de)白(bai)話解釋一(yi)下。這個過(guo)程(cheng)中有一(yi)個關(guan)鍵的(de)物(wu)理現(xian)象(xiang)，叫做表面張力。

表(biao)面(mian)張(zhang)力，我們簡單形象地理解，可以認為(wei)流(liu)體的(de)(de)兩相（如氣液）界(jie)面(mian)就像是一張(zhang)緊繃(beng)的(de)(de)皮膜(mo)(mo)，這張(zhang)膜(mo)(mo)在(zai)外力的(de)(de)約束下，總是希望盡可能地收縮。沿著它的(de)(de)表(biao)面(mian)就有一種張(zhang)力，就是表(biao)面(mian)張(zhang)力。

如果(guo)你(ni)想(xiang)用最(zui)形(xing)象(xiang)的(de)(de)方式理解表(biao)面張力(li)，你(ni)可(ke)以想(xiang)象(xiang)一個(ge)吹起(qi)來的(de)(de)氣球(qiu)的(de)(de)表(biao)面：氣球(qiu)的(de)(de)彈(dan)力(li)使它(ta)盡量(liang)收縮(suo)從(cong)而整體(ti)形(xing)成(cheng)(cheng)球(qiu)形(xing)。相對(dui)應地，水滴(di)的(de)(de)表(biao)面張力(li)使它(ta)盡量(liang)收縮(suo)從(cong)而形(xing)成(cheng)(cheng)球(qiu)形(xing)。

而這(zhe)里(li)有一件非常關(guan)鍵的事請，就是由于表(biao)(biao)面張力(li)(li)的存(cun)在(zai)，彎曲的表(biao)(biao)面就會在(zai)兩(liang)側形成壓力(li)(li)差。就好像緊(jin)繃的氣球(qiu)，其內部壓力(li)(li)要高(gao)于外(wai)部的壓力(li)(li)。這(zhe)種壓力(li)(li)差來自(zi)哪里(li)？當然就是氣球(qiu)皮膜緊(jin)繃的張力(li)(li)。由于氣球(qiu)的彎曲表(biao)(biao)面，使得(de)其張力(li)(li)最終表(biao)(biao)現為內部壓力(li)(li)的升高(gao)。

具體講，我們對一個這(zhe)樣無重力(li)(li)液滴做出(chu)分(fen)析，它的上半球受(shou)力(li)(li)受(shou)到三個力(li)(li)的作用：

1、內部(bu)液(ye)體在截面上對它的凈壓(ya)力；

2、外部(bu)在上半球面上對它的凈壓力

3、液滴表(biao)面(mian)受到的沿表(biao)面(mian)垂(chui)直于“斷(duan)面(mian)”的表(biao)面(mian)張力。

我們很容易就會看(kan)到，由(you)(you)于(yu)表面張(zhang)力的(de)存在，此(ci)時內部的(de)壓力肯定要大(da)于(yu)外部壓力。那么，這種壓力差的(de)大(da)小是(shi)由(you)(you)什么決定的(de)呢？

很顯然，一(yi)個決定因素(su)(su)就是(shi)(shi)張力(li)的(de)大(da)小：皮膜繃的(de)越緊，所能(neng)產生的(de)壓(ya)力(li)差(cha)就越大(da)。但(dan)是(shi)(shi)還(huan)有另(ling)一(yi)個很重要的(de)因素(su)(su)，就是(shi)(shi)表面彎(wan)曲的(de)程度，也就是(shi)(shi)它的(de)曲率。我們還(huan)是(shi)(shi)用氣球(qiu)做一(yi)個說明，例如(ru)下(xia)面這(zhe)個氣球(qiu)：

氣球內部(bu)的(de)(de)(de)(de)氣體壓力(li)處處相等(deng)，但是(shi)(shi)，接觸過(guo)這(zhe)種氣球的(de)(de)(de)(de)人都有一個經驗(yan)，就是(shi)(shi)粗的(de)(de)(de)(de)地(di)方繃得緊(jin)，而細的(de)(de)(de)(de)地(di)方繃得就不那(nei)么緊(jin)。如上圖所示，繃得緊(jin)的(de)(de)(de)(de)地(di)方和繃得松的(de)(de)(de)(de)地(di)方，產生的(de)(de)(de)(de)壓力(li)差(cha)(cha)是(shi)(shi)相等(deng)的(de)(de)(de)(de)，但是(shi)(shi)他(ta)們的(de)(de)(de)(de)曲率是(shi)(shi)不相等(deng)的(de)(de)(de)(de)：曲率越大，同樣(yang)的(de)(de)(de)(de)張力(li)所能產生的(de)(de)(de)(de)壓力(li)差(cha)(cha)就更(geng)大。

我們有一個公(gong)式(shi)可(ke)以表示這個關(guan)系，叫(jiao)做楊-拉普拉斯方(fang)程（Young-Laplace equation）：

其中(zhong)，γ是表(biao)面張力，R1和(he)R2分別是兩個方向上(shang)的(de)曲(qu)率半(ban)徑。

那么(me)，我(wo)們(men)來看看細流的水柱為何會分(fen)散(san)成(cheng)水滴：這是因為連續的水柱狀(zhuang)態是不穩定(ding)(ding)的，而(er)水滴的狀(zhuang)態才是穩定(ding)(ding)的。比(bi)如(ru)說(shuo)，下(xia)圖是一個細流柱：

我(wo)們(men)知道(dao)，我(wo)們(men)的(de)(de)環境(jing)中總是存在著各(ge)(ge)(ge)種干(gan)擾，不(bu)論我(wo)們(men)如何隔離，都不(bu)可能消除它：因(yin)(yin)為(wei)水柱(zhu)(zhu)(zhu)自身就存在各(ge)(ge)(ge)種漲落(luo)。因(yin)(yin)此，這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)水柱(zhu)(zhu)(zhu)不(bu)可能是嚴格的(de)(de)圓柱(zhu)(zhu)(zhu)形，它上面總是有各(ge)(ge)(ge)種“皺紋”的(de)(de)。事實上，現實中的(de)(de)擾動非(fei)常之復雜，我(wo)們(men)不(bu)可能做出(chu)具體的(de)(de)分析，但是，我(wo)們(men)總是可以把這(zhe)(zhe)些擾動看做是一系列正弦(xian)(xian)波的(de)(de)疊(die)加（傅(fu)里葉分解(jie)），那(nei)么，我(wo)們(men)通(tong)過對這(zhe)(zhe)些正弦(xian)(xian)波的(de)(de)分析，可以分析出(chu)這(zhe)(zhe)些干(gan)擾的(de)(de)基本特征。如下圖，一個(ge)(ge)被正弦(xian)(xian)波干(gan)擾的(de)(de)水柱(zhu)(zhu)(zhu)呈這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)形狀：

我(wo)們(men)可以看(kan)到，在不(bu)同(tong)的地方(fang)，柱(zhu)面的曲率都發(fa)生(sheng)了變化(hua)，這種變化(hua)和表面張力一起，就導致了水柱(zhu)當中不(bu)同(tong)地方(fang)內部壓力的變化(hua)。那么，我(wo)們(men)如何判斷這種影響呢？我(wo)們(men)說，如果A點（柱(zhu)半徑縮小的地方(fang)）的壓力上升，B點壓力下(xia)降，那么：

在壓(ya)力(li)差(cha)下，流體從A點流向B點，

流動導致A點進一(yi)(yi)步縮小(xiao)，B點進一(yi)(yi)步增大(da)

進而，A點(dian)壓(ya)(ya)力更加(jia)增加(jia)，B點(dian)的壓(ya)(ya)力更加(jia)減小(xiao) 

流(liu)動(dong)更加快速

……

 如此循環，A點處迅速縮成0，從而崩解，也就(jiu)是說，這是一種正反(fan)饋，表面張力的作(zuo)用會擴大擾動，水柱(zhu)不復存在。

但是(shi)，如果發生的(de)情況相反(fan)，也就(jiu)(jiu)是(shi)說，擾(rao)動(dong)導致B點(dian)壓力(li)上升，A點(dian)壓力(li)下降，那么，水就(jiu)(jiu)會(hui)從B點(dian)流向A點(dian)，這是(shi)一(yi)種(zhong)負反(fan)饋，表面張力(li)的(de)作用會(hui)抑制擾(rao)動(dong)，水柱就(jiu)(jiu)能維持穩定。

 那么，這(zhe)種擾動到底(di)會是一種正反(fan)饋，還是負反(fan)饋呢？我(wo)們來具體分析兩(liang)點(dian)的(de)壓力(li)變化：

在A點，z方向上(shang)(shang)產生了負曲(qu)率（半徑(jing)RA），而(er)r方向上(shang)(shang)，由于半徑(jing)變小，曲(qu)率變大。也就是(shi)說，A點上(shang)(shang)的曲(qu)率變化(hua)產生了兩個效(xiao)果：

柱(zhu)面(mian)的正弦波導致負曲率，使(shi)得A點的壓力下降；

截面的半徑變小，導(dao)致(zhi)A點壓力(li)上(shang)升。

同理，我們也(ye)可(ke)以看到，在B點，兩個效應是(shi)相反的：

柱面正(zheng)弦波(bo)導致(zhi)正(zheng)曲率(lv)，使得(de)B點壓(ya)力上(shang)升(sheng)；

截面半(ban)徑增大，導致B點壓力下降。

也(ye)就是說，擾動(dong)導(dao)(dao)致的z方(fang)向上的正(zheng)弦波(bo)曲率將會(hui)升(sheng)高B點(dian)壓力(li)，降低(di)A點(dian)壓力(li)，導(dao)(dao)致負反(fan)饋(kui)，水柱穩定；而擾動(dong)導(dao)(dao)致水柱粗細的變化(hua)，將會(hui)升(sheng)高A點(dian)壓力(li)，降低(di)B點(dian)壓力(li)，導(dao)(dao)致正(zheng)反(fan)饋(kui)，水柱崩解(jie)。

從直觀上我們立刻就知道，如果水(shui)柱很(hen)(hen)(hen)細，那(nei)么(me)(me)截面上的曲(qu)(qu)率(lv)很(hen)(hen)(hen)大，它的影響(xiang)會顯(xian)著大于正弦波(bo)的影響(xiang)，那(nei)么(me)(me)就會是(shi)正反饋，水(shui)柱崩(beng)解；反之，如果水(shui)柱很(hen)(hen)(hen)粗，那(nei)么(me)(me)截面上曲(qu)(qu)率(lv)很(hen)(hen)(hen)小，起(qi)到(dao)關(guan)鍵作用的將會是(shi)正弦波(bo)造成(cheng)的曲(qu)(qu)率(lv)，那(nei)么(me)(me)就會是(shi)負(fu)反饋，水(shui)柱穩定。

這就是(shi)為何(he)細水柱不穩(wen)定的原因。

那(nei)么，水(shui)柱(zhu)到底多細，才會不穩定呢？下(xia)面我們來簡(jian)單計算一下(xia)：

假定擾動所(suo)導致(zhi)正弦(xian)波的形式(shi)如下：

這里，是未(wei)受(shou)到擾動的水柱半徑，A表征擾動的大(da)小(xiao)(xiao)，而(er)(er)k是波數，表示擾動范(fan)圍的大(da)小(xiao)(xiao)。很容易(yi)，我(wo)們可以計(ji)算(suan)出兩個方向的曲率半徑，進而(er)(er)根據Young-Laplace方程(cheng)計(ji)算(suan)出流體內部各(ge)處的壓力(li)（我(wo)們假(jia)定外(wai)壓為零）：

在(zai)(zai)A點，，在(zai)(zai)B點，，那(nei)么，我們可以得到：

這就(jiu)是擾動導致AB兩點(dian)的壓力差。根據(ju)上(shang)面的討論，當它(ta)小于0的時候，水柱就(jiu)是穩定的，也就(jiu)是說:

請注意(yi)，理論上，當水柱穩定(ding)的(de)時候(hou)，它(ta)是可以抗拒任(ren)意(yi)小的(de)擾動的(de)，也就(jiu)(jiu)是說，在我們取的(de)極限時，水柱仍然穩定(ding)。所以說，我們就(jiu)(jiu)得到了水柱穩定(ding)的(de)條件如(ru)下：

 從這個條(tiao)件看(kan)，水(shui)柱的半徑越細，就越難滿足穩定(ding)條(tiao)件，進而它就更(geng)容易崩解。

而在(zai)水(shui)向下自由(you)流(liu)動的過(guo)程中(zhong)，由(you)于重力作用，它(ta)是在(zai)加速的，也(ye)就(jiu)是說，越(yue)往下它(ta)流(liu)動速度越(yue)快(kuai)，自然就(jiu)會導致(zhi)其越(yue)往下水(shui)柱越(yue)細：

所以，這(zhe)就回答(da)了題主的問題：

從高處往(wang)下(xia)(xia)倒水(shui)，為什么(me)剛開(kai)始水(shui)是連成(cheng)一(yi)條線，往(wang)下(xia)(xia)就成(cheng)了散開(kai)的(de)水(shui)珠？