強子夸克相變的表面張力

對于(yu)一(yi)級相變，當體系的(de)(de)(de)溫(wen)度達到(dao)相變臨界溫(wen)度時(shi)(shi)，模型的(de)(de)(de)熱力學勢(shi)(shi)能(neng)(neng)具有(you)兩個(ge)(ge)(ge)相等的(de)(de)(de)極(ji)小(xiao)(xiao)值(zhi)(zhi)，并且這(zhe)兩個(ge)(ge)(ge)極(ji)小(xiao)(xiao)值(zhi)(zhi)被一(yi)個(ge)(ge)(ge)勢(shi)(shi)壘(lei)分(fen)開。此外(wai)，由圖(tu)1可知，這(zhe)兩個(ge)(ge)(ge)極(ji)小(xiao)(xiao)值(zhi)(zhi)所對應的(de)(de)(de)σ場的(de)(de)(de)真(zhen)空(kong)(kong)期望(wang)值(zhi)(zhi)分(fen)別對應一(yi)個(ge)(ge)(ge)大的(de)(de)(de)數(shu)值(zhi)(zhi)和一(yi)個(ge)(ge)(ge)小(xiao)(xiao)的(de)(de)(de)數(shu)值(zhi)(zhi)。如果體系的(de)(de)(de)溫(wen)度進一(yi)步降低，那(nei)(nei)么σ期望(wang)值(zhi)(zhi)較小(xiao)(xiao)的(de)(de)(de)那(nei)(nei)個(ge)(ge)(ge)真(zhen)空(kong)(kong)勢(shi)(shi)能(neng)(neng)將大于(yu)σ期望(wang)值(zhi)(zhi)大的(de)(de)(de)那(nei)(nei)個(ge)(ge)(ge)真(zhen)空(kong)(kong)勢(shi)(shi)能(neng)(neng)，此時(shi)(shi)我(wo)們把前面那(nei)(nei)個(ge)(ge)(ge)真(zhen)空(kong)(kong)稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)亞穩(wen)態真(zhen)空(kong)(kong)（通(tong)(tong)常(chang)(chang)稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)偽真(zhen)空(kong)(kong)），而把后面那(nei)(nei)個(ge)(ge)(ge)真(zhen)空(kong)(kong)稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)穩(wen)定真(zhen)空(kong)(kong)（通(tong)(tong)常(chang)(chang)稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)真(zhen)真(zhen)空(kong)(kong)）。

圖1在不同夸克化學(xue)勢密度條(tiao)件下,σ場(chang)的真空期望(wang)值隨溫度的演化行為

在(zai)(zai)經(jing)典物理中，雖然偽(wei)真(zhen)(zhen)空(kong)的能(neng)量高于真(zhen)(zhen)真(zhen)(zhen)空(kong)，但(dan)是(shi)由(you)于兩個真(zhen)(zhen)空(kong)之間還有一個勢壘(lei)，故偽(wei)真(zhen)(zhen)空(kong)無法回(hui)到真(zhen)(zhen)真(zhen)(zhen)空(kong)。但(dan)是(shi)，對于一個量子(zi)(zi)體系，由(you)于存(cun)在(zai)(zai)量子(zi)(zi)隧(sui)穿效應，偽(wei)真(zhen)(zhen)空(kong)還有一定的概(gai)率可以回(hui)到真(zhen)(zhen)真(zhen)(zhen)空(kong)，從(cong)而(er)發生(sheng)一級(ji)(ji)相(xiang)(xiang)(xiang)變(bian)，并把多余的能(neng)量以相(xiang)(xiang)(xiang)變(bian)潛熱(re)的形式釋放出(chu)來(lai)。為了準確地描述(shu)該一級(ji)(ji)相(xiang)(xiang)(xiang)變(bian)的相(xiang)(xiang)(xiang)變(bian)動力(li)學過程(cheng)，我們借助液滴核合成唯象模型來(lai)描述(shu)夸克強子(zi)(zi)的一級(ji)(ji)相(xiang)(xiang)(xiang)變(bian)。

在(zai)(zai)液(ye)滴(di)核合成唯象模型中，由(you)(you)于(yu)存(cun)在(zai)(zai)漲落，會(hui)產生一(yi)系(xi)列(lie)新的(de)(de)(de)、能(neng)量(liang)較低的(de)(de)(de)真(zhen)真(zhen)空(kong)的(de)(de)(de)泡(pao)泡(pao)（通常(chang)用(yong)一(yi)個球形泡(pao)泡(pao)來模擬強(qiang)(qiang)子相），然后通過這些(xie)泡(pao)泡(pao)的(de)(de)(de)膨(peng)(peng)脹最(zui)終(zhong)實現從(cong)偽真(zhen)空(kong)到(dao)真(zhen)真(zhen)空(kong)的(de)(de)(de)轉變。具體(ti)(ti)的(de)(de)(de)完(wan)成過程如下(xia)：由(you)(you)于(yu)偽真(zhen)空(kong)的(de)(de)(de)單位體(ti)(ti)積自(zi)(zi)(zi)由(you)(you)能(neng)密(mi)(mi)度高于(yu)真(zhen)真(zhen)空(kong)的(de)(de)(de)單位體(ti)(ti)積自(zi)(zi)(zi)由(you)(you)能(neng)密(mi)(mi)度，泡(pao)泡(pao)在(zai)(zai)膨(peng)(peng)脹的(de)(de)(de)過程中，體(ti)(ti)系(xi)的(de)(de)(de)能(neng)量(liang)降低，但是，由(you)(you)于(yu)這些(xie)泡(pao)泡(pao)同時(shi)存(cun)在(zai)(zai)表面(mian)張力，又會(hui)束縛氣泡(pao)的(de)(de)(de)膨(peng)(peng)脹，二(er)者(zhe)存(cun)在(zai)(zai)競爭關系(xi)。體(ti)(ti)積自(zi)(zi)(zi)由(you)(you)能(neng)與r3成正(zheng)比，表面(mian)自(zi)(zi)(zi)由(you)(you)能(neng)與r2成正(zheng)比，故(gu)存(cun)在(zai)(zai)一(yi)個臨界半徑rc,當r<rc時(shi)，表面(mian)自(zi)(zi)(zi)由(you)(you)能(neng)占主導地位，泡(pao)泡(pao)會(hui)最(zui)終(zhong)收縮(suo)為(wei)偽真(zhen)空(kong)，從(cong)而消失；而對(dui)于(yu)r>rc,體(ti)(ti)積自(zi)(zi)(zi)由(you)(you)能(neng)占主導地位，泡(pao)泡(pao)會(hui)一(yi)直(zhi)(zhi)膨(peng)(peng)脹直(zhi)(zhi)至占據(ju)整個系(xi)統(tong)，從(cong)而完(wan)成夸(kua)克相到(dao)強(qiang)(qiang)子相的(de)(de)(de)完(wan)全轉變。

如果把真真空的(de)泡(pao)泡(pao)看成是一個(ge)半(ban)徑為r的(de)球形泡(pao)泡(pao)，那么(me)體系總自由能的(de)改變(bian)為

其(qi)中，ε為(wei)偽真空與真真空的單(dan)位體(ti)積自由能(neng)(neng)密度(du)之(zhi)差；Σ是(shi)泡(pao)壁的表面(mian)能(neng)(neng)量密度(du)，即兩相界面(mian)的表面(mian)張力。

在偽真(zhen)空(kong)的(de)(de)(de)環境(jing)下，大小不(bu)一(yi)(yi)的(de)(de)(de)真(zhen)真(zhen)空(kong)泡泡，由于(yu)量子漲(zhang)落和熱(re)漲(zhang)落隨(sui)機出現(xian)并(bing)消失，直至(zhi)泡泡的(de)(de)(de)半徑(jing)大于(yu)等(deng)于(yu)臨(lin)界半徑(jing)，然后這(zhe)些泡泡就(jiu)會一(yi)(yi)直膨脹下去，完成(cheng)一(yi)(yi)級相變(bian)的(de)(de)(de)相變(bian)過程，并(bing)把多余的(de)(de)(de)體系(xi)自由能(neng)以相變(bian)潛熱(re)的(de)(de)(de)形式(shi)釋(shi)放(fang)到環境(jing)中。基于(yu)這(zhe)個機制，單(dan)位(wei)時間單(dan)位(wei)體積的(de)(de)(de)臨(lin)界泡泡成(cheng)核率(lv)可以表示為

其中，T為(wei)系統溫(wen)度(du)。因子(zi)P通常(chang)比(bi)較難計算，為(wei)了計算方便(bian)通常(chang)采用簡單(dan)的量(liang)綱分析，用T4近似代替P.利用歐(ou)幾里(li)得(de)空間(jian)的有限(xian)溫(wen)度(du)場(chang)論方法，上述的成核率(lv)可(ke)以(yi)從下面的歐(ou)幾里(li)得(de)拉格朗日密度(du)出發：

這里為了(le)方便(bian)討(tao)論，我們把熱力學有效勢能重(zhong)新定義(yi)為Veff（σ）=Ω（σ,T,μ）。則體(ti)系的自由能表示為

為(wei)偽真空下的(de)σ場的(de)真空期望值。也就是說，遠離真真空泡(pao)(pao)泡(pao)(pao)的(de)中(zhong)心，體系處于(yu)亞穩(wen)態，相當(dang)于(yu)真真空的(de)泡(pao)(pao)泡(pao)(pao)在偽真空中(zhong)產生并膨(peng)脹(zhang)。

對于一般有(you)效勢(shi)Veff,在邊界條件（16）式下，通(tong)常不能(neng)(neng)通(tong)過解(jie)析(xi)方(fang)(fang)(fang)法得(de)(de)(de)(de)到(dao)（15）式的(de)(de)(de)(de)解(jie)析(xi)解(jie)，只(zhi)能(neng)(neng)求助計算機(ji)得(de)(de)(de)(de)到(dao)該方(fang)(fang)(fang)程的(de)(de)(de)(de)數(shu)值解(jie)。但是，如果考(kao)慮真真空(kong)(kong)泡(pao)泡(pao)的(de)(de)(de)(de)尺(chi)寸比(bi)壁(bi)厚大得(de)(de)(de)(de)多(duo)的(de)(de)(de)(de)情況(kuang)，或者偽真空(kong)(kong)與真真空(kong)(kong)的(de)(de)(de)(de)勢(shi)能(neng)(neng)差(cha)與介于兩個真空(kong)(kong)之間的(de)(de)(de)(de)勢(shi)壘(lei)相比(bi)小得(de)(de)(de)(de)多(duo)的(de)(de)(de)(de)情況(kuang)，該情況(kuang)也稱為薄壁(bi)（thin-wall）近似，則方(fang)(fang)(fang)程式（15）中的(de)(de)(de)(de)第(di)二(er)項與第(di)一項相比(bi)可(ke)以(yi)被忽略，即方(fang)(fang)(fang)程進一步簡化(hua)為由此，一旦(dan)得(de)(de)(de)(de)到(dao)了體系的(de)(de)(de)(de)自(zi)由能(neng)(neng)Fb,就可(ke)以(yi)很容易估算出(chu)夸克強子一級相變的(de)(de)(de)(de)成核率(lv)Γ.

利用(yong)薄(bo)壁近(jin)似，圖2給出了當T=Tc時，夸克(ke)強(qiang)子一級(ji)相(xiang)(xiang)變(bian)的(de)表面張力隨夸克(ke)化學勢的(de)變(bian)化。可知在(zai)一級(ji)相(xiang)(xiang)變(bian)區域(yu)，當化學勢增大時，強(qiang)子相(xiang)(xiang)的(de)表面張力也隨著化學勢增大。當溫度接近(jin)零時，強(qiang)子夸克(ke)相(xiang)(xiang)變(bian)的(de)表面張力約為12.6 MeV/fm2.在(zai)T→0的(de)情況，本文(wen)理(li)論預言與(yu)文(wen)獻(xian)一致(zhi)，但該(gai)文(wen)獻(xian)只是考(kao)慮T=0的(de)冷(leng)夸克(ke)物質的(de)夸克(ke)強(qiang)子一級(ji)相(xiang)(xiang)變(bian)。

圖2 T=Tc時表(biao)面張力與夸(kua)克化學勢的演化關(guan)系

結論

利(li)用(yong)兩(liang)個夸(kua)克(ke)(ke)味的(de)(de)(de)(de)夸(kua)克(ke)(ke)介子(zi)(zi)模型，在(zai)有(you)限溫度(du)、有(you)限夸(kua)克(ke)(ke)化學(xue)勢密度(du)條件下(xia)，本文計算(suan)了模型熱力(li)學(xue)有(you)效(xiao)(xiao)勢能(neng)，通過求解(jie)該熱力(li)學(xue)有(you)效(xiao)(xiao)勢能(neng)對(dui)σ場的(de)(de)(de)(de)變(bian)(bian)分，得到σ介子(zi)(zi)場的(de)(de)(de)(de)運動方(fang)程(cheng)，求解(jie)該運動方(fang)程(cheng)得到σ場的(de)(de)(de)(de)真(zhen)空期望值(zhi)隨溫度(du)和(he)(he)密度(du)的(de)(de)(de)(de)變(bian)(bian)化關系。我們發現(xian)(xian)，在(zai)高(gao)溫低(di)(di)密度(du)區域，量(liang)子(zi)(zi)色動力(li)學(xue)的(de)(de)(de)(de)相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)是過渡相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)，而(er)在(zai)低(di)(di)溫高(gao)密度(du)區域，量(liang)子(zi)(zi)色動力(li)學(xue)的(de)(de)(de)(de)相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)是一級(ji)相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)，在(zai)過渡相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)和(he)(he)一級(ji)相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)的(de)(de)(de)(de)交界處存在(zai)一個相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)的(de)(de)(de)(de)臨界點(dian)，我們稱之為CEP（critical end point）。為了提供更加完整的(de)(de)(de)(de)理論結(jie)果，不同(tong)于其他文獻，我們在(zai)模型的(de)(de)(de)(de)計算(suan)中(zhong)考慮夸(kua)克(ke)(ke)場的(de)(de)(de)(de)真(zhen)空漲(zhang)(zhang)落(luo)和(he)(he)重整化效(xiao)(xiao)應(ying)，并且我們采用(yong)了一套廣泛應(ying)用(yong)并被實驗認可的(de)(de)(de)(de)模型參數來(lai)計算(suan)。特別是夸(kua)克(ke)(ke)場的(de)(de)(de)(de)真(zhen)空漲(zhang)(zhang)落(luo)效(xiao)(xiao)應(ying)，通常(chang)會使(shi)得一級(ji)相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)的(de)(de)(de)(de)相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)區域變(bian)(bian)得很小(xiao)(xiao)，從而(er)進一步推(tui)低(di)(di)夸(kua)克(ke)(ke)強子(zi)(zi)相(xiang)(xiang)變(bian)(bian)的(de)(de)(de)(de)強子(zi)(zi)相(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)表面張力(li)的(de)(de)(de)(de)數值(zhi)，而(er)很小(xiao)(xiao)的(de)(de)(de)(de)表面張力(li)數值(zhi)，使(shi)得中(zhong)子(zi)(zi)星在(zai)早(zao)期演化過程(cheng)中(zhong)產生(sheng)更加復雜的(de)(de)(de)(de)中(zhong)子(zi)(zi)星結(jie)構，比如中(zhong)子(zi)(zi)星的(de)(de)(de)(de)混合(he)相(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)出現(xian)(xian)，夸(kua)克(ke)(ke)星硬層的(de)(de)(de)(de)出現(xian)(xian)等物(wu)理現(xian)(xian)象。

考慮到基于夸克(ke)介(jie)(jie)子模(mo)(mo)(mo)型(xing)(xing)的熱力學性質計(ji)算結(jie)果與當(dang)前的格點量(liang)(liang)子色動力學計(ji)算差距(ju)較大(da)，與當(dang)前的實驗觀測也有(you)相當(dang)大(da)的出入，故在(zai)(zai)該(gai)模(mo)(mo)(mo)型(xing)(xing)中我們考慮膠子的自由度(du)，把夸克(ke)介(jie)(jie)子模(mo)(mo)(mo)型(xing)(xing)進(jin)一步(bu)推廣到Polyakov圈拓(tuo)展的Polyakov-quark-meson model（PQM）模(mo)(mo)(mo)型(xing)(xing)。由于考慮了Polyakov圈拓(tuo)展，需要在(zai)(zai)模(mo)(mo)(mo)型(xing)(xing)中引入另(ling)外兩個(ge)序(xu)參量(liang)(liang)，因此PQM模(mo)(mo)(mo)型(xing)(xing)具有(you)三個(ge)序(xu)參量(liang)(liang)，在(zai)(zai)計(ji)算夸克(ke)強子相變表(biao)面(mian)張力時，需要同時求(qiu)解三個(ge)非線性微分方程組，理論和數值(zhi)(zhi)計(ji)算將(jiang)(jiang)變得非常復雜和困難(nan)，特別(bie)是在(zai)(zai)這種(zhong)情況下，薄壁近似將(jiang)(jiang)不再(zai)有(you)效(xiao)，只能采用數值(zhi)(zhi)計(ji)算來獲得表(biao)面(mian)張力的數值(zhi)(zhi)信息。目前，該(gai)方向的研究正在(zai)(zai)進(jin)行中。